コラッツ問題の証明

1以上の全ての自然数について、下記の関数が有限回で1になることを証明する。
自然数をnとすると、
nが奇数のとき
（3n+1）/2
nが偶数のとき
n/2

自然数を以下の2進数と考える。
n
Σ2^i×bi
i=0

例
十進数5は
b2=1
b1=0
b0=1

このとき、b0=0が偶数で、b0=1が奇数であることがわかる。

関数が奇数で連続するのは、
b0=1、b1=1、b2=1、…、bn=1
と1が連続するときに限る。

上記関数を偶数d=0、d=1で簡潔にすると、
3^d（n+d）/2
と表現できる。

展開例
3^dn/2（…（3^d0/2+d0/2）…）+dn/2

Σ2^ibn

で、d0～dnがすべて1はb0～bnがすべて1以外にないことからわかる。

このとき、bn+1=0で、奇数の連続が途切れて、偶数の計算になる。

奇数の計算が連続するとき下記で表現できる。
計算対象の自然数をxとすると
（3^n×x+3^n-2^n）/2^n

これから、奇数が連続したあとの偶数の計算のときを計算すると、対象の自然数を
2^n-1
と連続したものとすると、
｛3^n（2^n-1）+3^n-2^n｝/2^n
=3^n-1
となり、奇数の連続は、偶数の計算で有限回であることがわかる。
偶数の計算結果さらに奇数が連続しても偶数で有限回となり、その繰り返しが何回であっても、有限回で1に達することがわかる。

以上　証明終了