素数の表現

説明の不足気味をお詫びします。
しかし、重要かもしれないので、よろしくお願いします。

素数を素数の剰余で表現する。
p(n)=(d1,d2,…,dn)
n番目の素数は、
2の剰余がd1,3の剰余がd2,…,n番目の素数の剰余が0を表す。
剰余の組み合わせから、一意に決まる。

例)
2 (0)
3 (1,0)
5 (1,2,0)
7 (1,1,2,0)

平方根以下の素数で割り切れなければ、素数と確認できることを利用して、下記のように求められる。

素数2は、4まで確認できる。
2の剰余で0以外は、剰余1で、確認できる範囲には、1と3があるが、1は除外するので、素数3が求まる。
3 (1,0)

素数2,3から4以上9以下が確認できる。
剰余0以外は
2…1
3…1,2
確認できる範囲には、
5 (1,2)
7 (1,1)
この段階では、3までの剰余でしか確認してないため、()の中の剰余も、3までの剰余になっている。

以下、
既に求めた素数p(n)から確認できる範囲は、p(n-1)^2以上p(n)^2以下となる。
この時、p(1)～p(n)を全て乗算した数の範囲で剰余d1～dnの組み合わせは、一意に決まる。
全て乗算した数の範囲で、素数p(n)の剰余0を除外できるから、その範囲の(p(n)-1)/p(n)を素数の候補から除外する結果となる。
つまり、全て乗算した数
2*3*5*…*p(n)
のうち、
(2-1)*(3-1)*(5-1)*…*(p(n)-1)
の数だけ、素数候補が残る結果となる。

注意するのは、二乗の範囲までしか確認出来ないことと、7の場合に限って、全て乗算した数である6以上となることだ。

これを利用して、何が出来るだろうか？
直ちに効果が見込めることは、素数の求め方の効率アップ。

割り算の繰り返しではなく、それまでの素数の剰余の情報から、決定出来る。

また、今までは、求めた素数が情報の元ネタであったが、素数に情報を付加することで、素数そのものの性質を探る可能性が見込める。奇数の完全数や双子素数とか、色々。

少なくとも、素数分布でよく使われるゼータ関数をガウスが乗算表現した式を実感させるものと言える。

この方法で何か調べられたら、投稿します。