奇数の完全数とセクシー素数

以前の投稿、素数の表現を利用します。
スマフォ操作で苦労してるので、簡易で勘弁してもらいます。

○奇数の完全数の否定の簡易証明

完全数は、
2Πp^e
で表せ、約数の総和は、
Π(Σp^i)
で表せる。これが等しいのが完全数だ。

総和の方は、
(p1m1+1)(p2m2+1)…(pnmn+1)
=p1p2…pnm+1
と変形出来る。

変形した総和と約数の総乗は等しいはずだが、約数の素数の総乗の剰余で等しくない。
従って、2以外の素数を約数にした完全数はありえない。

○セクシー素数の無限の存在予想

素数2,3,5の総乗で30の剰余で考えると、
2組存在する。
5の次の素数7では、総乗30*7=210となり、2*7の組から、4組が7の倍数に相当して除外される。

この素数を次々と考えていくと、
前の素数での総乗の剰余で、
前の素数でのセクシー素数の組は、今回の素数倍の組から4組除外して増える。

このため、素数の総乗で考えると、セクシー素数は無限に存在する。

但し、素数の総乗のうち、素数の二乗までの新たな素数が有効なので、その範囲でセクシー素数が存在することが確認できれば、セクシー素数の無限の存在が証明できる。

この考え方は、双子素数やなんとか素数にもあてはまる。
た次の課題は、二乗の範囲で存在することの確認になるが、これができると、双子素数とか一連が証明できる。誰か、行儀の良い人に証明してもらいたいと思う。

適切な表現かはわからないが、あの素数の表現はかなり強力だと考える。