数のいろは歌 コラッツ樹系

コラッツ予想について、コラッツ樹系を考える。予想が成り立つなら、全ての数が樹系に繋がることになる。数のいろは歌みたいなものと考えると驚く。

準備として以下を考える。

奇数を最初の数とする倍々の数列
例
1 2 4 8 16 32…
この数列では、奇数に収束することは明白だ。

奇数の4倍+1の数列、多分関数を用意すると便利だ。
例
1 5 21 85 171…
Σ4の累乗
で表される。
5=1+4
21=1+4+16
85=1+4+16+64
…
最初の数をkとすると、
k
4k+1
16k+5
64k+21
…

奇数が、奇数の倍々数列に接続することを考える。
p 2p 4p 8p…
pが3の剰余で1の時
2p 8p 32p…
2の時
p 4p 16p…
と4倍々で接続する。剰余が0には接続しない。
例
5が奇数の倍々数列
5←3
20←13
80←53
…
7が奇数の倍々数列
14←9
56←37
224←149
…
左側が4倍々で増えて、右側が4倍+1で増えることがわかる。

奇数が奇数の倍々数列に接続することを表現するものがコラッツ樹系になる。

ここで、奇数の倍々数列の表現としてコラッツ樹系を以下のように考える。
例
(8,5,3)
(8,20,13)
これは最右側の数が収束することがわかる。
左側を省略して未定とする表現も可能かもしれない。
例
(?,11,7)

4倍+1の数列を考えると、最初の数以外は必ず奇数の4倍+1になるから、8の剰余で5となることがわかる。
8の剰余で5となる数は必ず4倍+1数列の前の順番の数が存在すると言い換えることも出来る。

このことから、奇数の数列に接続する最小の数は、8の剰余で1 3 7であることがわかる。

上のコラッツ樹系表現を再掲する。
例
(8,5,3)
(8,20,13)
5は1
13は3
が4倍+1数列の最初であるが、この表現ではわかりにくい。下記も参考に例示する。
*1

コラッツ樹系は予想が成立すると唯一性が保証される。
このとき、8の剰余で1 3 7だけで表現する方法が見通しがよいかもしれない。

予想が破綻するとは、収束せずに、循環するか、発散することとなる。
1と2の循環は明白なので、それ以外の循環ということになる。
収束する左側から出発するなら、循環も発散も不可能なことは明白なので、全ての数がこの方法で表現可能であれば、予想が成立することが示される。

奇数の倍々数列へ接続する4倍々数列を考えると、3の剰余で0 1 2の循環であることに気づく。
例
3 13 53…

また、
(2m+1)2^n-1
は連続して奇数の計算をして、
(2m+1)3^n-1
になることがわかる。これはコラッツ樹系で表現すると、8の剰余で3または7が連続することがわかる。

8の剰余で5となるということは、奇数の倍々数列への接続に、より小さな数が接続することを示している。

これらを利用して、左側から全てが探索可能であることを示すことが可能と考えているが、より行儀よく整理することが望ましい。

まだ規則性を探す余地がありそうだ。恐らく、螺旋のような規則性だと思う。

*1:8,5),3) ((8,(20,13