コラッツ樹系の先端

コラッツ樹系について少し整理する。
圧縮や暗号に利用出来ることを想定すると、それなりにきちんとするべきだろう。

コラッツ樹系の説明は省略するが、要点だけ述べる。
数値の表記について、通常表記とは別の表記が混じるので間違いやすいかもしれない。
例）
通常表記31
別表記32-1

奇数は3種類
6n+1
6n+3
6n+5
それぞれ倍々数列のトップになる。
6n+3は3の倍数で他の樹系の枝は接続しない。

樹系の先端は2種類の奇数
6n+1
6n+3
樹系の先端からさらに別の樹系の枝に接続するのは、6n+1のみ。

樹系の根元部分の偶数直前の奇数は2種類
8n+1
8n+5

8n+3と8n+7の奇数は樹系の枝の根元と先端の間の奇数になる。
8n+1は奇数6n+1に接続する樹系枝集合の先頭のみで、後続樹系の根元部分の奇数は8n+5で4倍+1の関係にある。

また、樹系枝集合は3種類
奇数複数
奇数単数6n+3
奇数単数6n+1
この3種類が交互の関係になる。

3の倍数の奇数を先端として根元方向に枝を接続し続けて根元部分が8n+5までの一連の枝を考える。

これを根元部分までの本流とみなせる。
他の樹系の枝は合流までの支流に相当する。

これらから次がわかる。

根元部分の合流で、それまでの経路は清算されて本流の情報に収斂される。

部分的な順序は成立する。
全体としての半順序は成立しない。

本流としての一連の枝は一意である。

一連の枝においては、循環しない。
∵3の倍数には接続しない。

一連の枝においては、必ず8n+5の根元部分まで達する。
∵
先端の奇数を
2^i(3^j×mj+3^j-1×mj-1+…+3×m1+m0)-1
と2の累乗と三進数の表現にすると枝部分は容易に理解しやすくなる。
根元部分での変換は限られるから、幾つの枝を経由するかも先端の奇数に依存することがわかる。
この部分が肝心だが、ここでは省略する。
3の倍数の奇数を
2の累乗ごとの表を作成すると見通しがよい。

1の倍々数列に接続するのは、
2,8,32,128…
で、2以外は8n+5が接続することがわかる。

このことから、接続を続けることでコラッツ樹系を成長させることが出来る。

概数で全体が樹系に接続することの確認方法を考える。

奇数が三種類のうちの二種類で、四倍毎に奇数を発生させることで、接続する奇数の概数がわかる。

8n+1と8n+5で枝の概数がわかる。

先端部分の2の累乗から枝部分の奇数の個数が明確になるから、奇数の種類毎と枝の対応がわかる。

循環と発散は、ほぼ否定される。
全ての枝は3の倍数の先端を持つので、循環は否定される。
3の倍数を先端とする一連の枝は一意であるから、枝の重複、つまり、一つの枝が複数の一連の枝の枝要素にはならない。

概数を根拠として、全ての一連の枝は樹系に接続することがわかる。

結局、原始情報である数値自体に樹系の経路情報が埋め込まれていて、経路を読み解く容易な手段が見つかっていないということに尽きる。

しかし、全ての数値が樹系の構成要素になることを有効利用することは意味があると思う。