n^2と(n+1)^2の間の素数の存在

任意の素数階乗の剰余を考えると、その素数の次の素数があることで、素数階乗では、素数の間の最大は、高々その次の素数である。

また、その素数の二乗n^2と、(n+1)^2の差は、2n+1となる。

また、全ての自然数で2倍以内に素数は存在する。

これらから、2以上の自然数でn^2と(n+1)^2の間に素数が存在することがわかる。

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任意の素数階乗での剰余をみると、そこまでの素数の剰余で0とならない数は、つまり、そこまでの素数で互いに素となる。

要するに、互いに素となる数は、素数候補だが、必ず初めて候補から除外される、そこでの素数自身と、素数階乗からの引き算結果は、素数候補の間隔が最大になる。

素数の間隔だけをみるならば、素数階乗の倍数を挟んだ数となる。

素数階乗の剰余を利用すると、色々わかると思う。二乗の範囲でしか素数が確定しないし、それを超えたら素数候補でしかない。しかし、そこまでの素数では互いに素であるから、利用可能だと思う。

互いに素の関係は、引き算結果も互いの剰余を0とする関係が利用できる。

もっと有用な利用を探り当てたい、という気持ちと、素数探索への貢献と道はある。有用な利用がなんとなくありそうなので、少しこちらに力点をおきたい。

素数探索への貢献は、要するに決定論的にできるような工夫につながれば計算量を減らせる。

素数の間隔とか双子素数とか、この素数階乗の剰余を利用すれば示せると思う。なんとか素数も類似だと思う。それ以外に素数にまつわる話がよくわからないが、類似で一網打尽になりそうな気がする。

やはり、群と複素関数の力が必要だと感じてる。強力だと思う。